Как снять запрет на выезд ребёнка за границу?

Здравствуйте! Ситуация следующая: муж болгарин и живет в Германии, я гражданка России и живу в России. 1,5 года мы жили в Германии вместе, но брак «дал трещину» и я уехала. Родила дочь в России. Она гражданка РФ. Поскольку впереди развод, у меня есть опасения по поводу действий мужа в отношении дочери. Пожалуйста, скажите:

1. Должна ли я каждый раз брать у мужа разрешение на выезд за границу с ребёнком?

2. Допустим, он дал разрешение, а когда мы будем за границей, может ли он внезапно сделать запрет, из-за которого мы не сможем вернуться в Россию?

3. Дочь имеет право претендовать на гражданство Болгарии. Есть ли какие-то риски при поездке в Болгарию? Могут ли по просьбе отца не выпустить оттуда?

4. Есть вероятность, что муж будет препятствовать нашим выездам (с его слов) - возможно ли это?

5. Есть страны, в которых не требуется разрешение (безвизовые): Тайланд, Турция, например. Действительно ли не требуется? Из России -то мы все равно выезжаем.

В общем, главный страх теперь у меня о поводу путешествий. Страшно, что могут возникнуть проблемы на границах, что не выпустят ребёнка а меня депортируют и т.п. У ребёнка фамилия отца, а я скооо свою сменю на старую.

Огромное спасибо за ответы! У меня есть некоторые уточнения:
2) Не могу понять, по какой системе это вообще происходит. Она ведь гражданка России, как можно удерживать ее в другой стране по просьбе отца? Я думала, РФ защищает в этих случаях права детей. Я правильно понимаю, что отец имеет право не только запретить ВЫЕЗД из России, но и оформить запрет/разрешение на ВЪЕЗД в Россию? Просто куда тогда они отправят ребёнка, если он в другой стране с ограниченным сроком визы?
3) Она в свидетельстве о рождении числится, как его дочь, но при этом в месте, где должно быть указано гражданство отца, стоит прочерк. Это произошло потому, что на момент оформления свидетельства отец не присутствовал и его паспорта не было. Позже он прислал паспорт и я сделала гражданство РФ для дочери. Болгарское гражданство получить можно только в присутствии обоих родителей в Болгарии.
Заранее благодарю за пояснения!